Električka zvaný túžba sa odohráva v New Orleans v 40. rokoch 20. storočia. Hlavnou postavou je Blanche DuBoisová, vyprahla a sentimentálna žena, ktorá prichádza na návštevu k svojej sestre Stelle a jej manželovi Stanleymu Kowalskému.
Príbeh začína, keď Blanche prichádza do domu Stelly a Stanleyho, hľadajúc útočisko pred svojou tragédiou minulosti. Snaží sa predstierať, že jej život je ešte stále plný glamúru a elegancie, ale rýchlo zisťuje, že sa nemôže úplne vyhnúť pravde o svojom živote.
Stanley, hrubý a impulzívny muž, okamžite začína pochybovať o Blancheinej autenticite a spochybňuje jej pohnútky a úmysly. Medzi nimi dochádza k častým konfliktom, pričom ich vzájomné napätie sa stupňuje, keď sa Stanley dozvie o temných tajomstvách Blancheovej minulosti.
Blanche sa snaží nájsť spojenie so svojou sestrou Stellou, ale aj ich vzťah je skúšaný Stanleyho neovereným správaním a násilím. Stellin vnútorný konflikt medzi oddanosťou svojmu manželovi a lojalitou voči sestre sa zintenzívňuje, keď sa pravda o Blancheovej minulosti začína odhaľovať.
Postupne sa ukazuje, že Blancheina minulosť je plná tragických udalostí, ako je smrť jej manžela a dekadentný život v New Orleans. Jej snaha utiecť od reality sa stáva stále zúfalejšou, keď sa jej ilúzie začínajú rozpadávať a jej mentálne zdravie sa zhoršuje.